統(tǒng)計(jì) - 概率加法定理

2018-12-28 10:08 更新

互斥事件

概率狀態(tài)的加法定理如果A和B是兩個(gè)互斥事件，則A或B的概率由下式給出

${P(A\ or\ B) = P(A) + P(B) \\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B)}$

這個(gè)定理可以擴(kuò)展到三個(gè)互斥事件

${P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) }$

例子

問題陳述:

一張卡是從一包52中抽取的，它是國(guó)王還是王后的概率是多少？

解決方案:

讓事件（A）=繪制一張國(guó)王的卡

事件（B）畫一張皇后卡

P（卡牌是王或王后）= P（卡是王）+ P（卡是王后）

${P (A \cup B) = P(A) + P(B) \\[7pt] = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} \\[7pt] = \frac{2}{13} + \frac{2}{13} \\[7pt] = \frac{4}{13}}$

非互斥性事件

在存在兩個(gè)事件發(fā)生的可能性的情況下，加性定理被寫為:

${P(A\ or\ B) = P(A) + P(B) - P(A\ and\ B)\\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)}$

例子

問題陳述:

一個(gè)射手已知在7次射中擊中目標(biāo)3; 另一個(gè)射手已知在5次射擊中擊中目標(biāo)2次。 找到目標(biāo)被擊中的概率，當(dāng)他們兩個(gè)嘗試。

解決方案:

第一個(gè)射手擊中目標(biāo)的概率P（A）= $ {\\ frac {3} {7}} $

第二個(gè)射手擊中目標(biāo)的概率P（B）= $ {\\ frac {2} {5}} $

事件A和B不是相互排斥的，因?yàn)閮蓚€(gè)射手都可能命中目標(biāo)。 因此，適用的加法規(guī)則是

${P (A \cup B) = P (A) + P(B) - P (A \cap B) \\[7pt] = \frac{3}{7}+\frac{2}{5}-(\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) \\[7pt] = \frac{29}{35}-\frac{6}{35} \\[7pt] = \frac{23}{35}}$
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