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統(tǒng)計 - 區(qū)間估計

2018-12-28 10:08 更新

間隔估計是使用樣本數(shù)據(jù)來計算未知總體參數(shù)的可能（或可能）值的區(qū)間，與作為單個數(shù)字的點估計相反。

式

$ {\\ mu = \\ bar x \\ pm Z _ {\\ frac {\\ alpha} {2}} \\ frac {\\ sigma} {\\ sqrt n}} $

其中 -

問題陳述:

假設測量某種液體的沸騰溫度的學生在6個不同的液體樣品上觀察到讀數(shù)（以攝氏度計）102.5,101.7,103.1,100.9,100.5和102.2。他計算樣本均值為101.82。如果他知道這個程序的標準偏差是1.2度，那么在95％置信水平下，人口平均值的區(qū)間估計是多少？

解決方案:

學生計算沸騰溫度的樣本平均值為101.82，標準偏差為$ {\\ sigma = 0.49} $。 95％置信區(qū)間的臨界值為1.96，其中$ {\\ frac {1-0.95} {2} = 0.025} $。未知均值的95％置信區(qū)間。

${ = ((101.82 - (1.96 \times 0.49)), (101.82 + (1.96 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\[7pt] \ = (100.86, 102.78) }$

隨著置信水平降低，相應間隔的大小將減小。假設學生對沸騰溫度的90％置信區(qū)間感興趣。在這種情況下，$ {\\ sigma = 0.90} $和$ {\\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $。此級別的臨界值等于1.645，因此90％置信區(qū)間為

${ = ((101.82 - (1.645 \times 0.49)), (101.82 + (1.645 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.81, 101.82 + 0.81) \\[7pt] \ = (101.01, 102.63)}$

樣本量的增加將降低置信區(qū)間的長度，而不降低置信水平。這是因為標準偏差隨著n增加而減小。

間隔估計的誤差界限$ {m} $被定義為從確定間隔長度的樣本平均值增加或減去的值:

$ {Z _ {\\ frac {\\ alpha} {2}} \\ frac {\\ sigma} {\\ sqrt n}} $

假設在上面的例子中，學生希望有95％置信度的誤差界限等于0.5。將適當?shù)闹堤鎿Q為$ {m} $的表達式并求解n給出計算。

${ n = {(1.96 \times \frac{1.2}{0.5})}^2 \\[7pt] \ = {\frac{2.35}{0.5}^2} \\[7pt] \ = {(4.7)}^2 \ = 22.09 }$

為了實現(xiàn)對總長度小于1度的平均沸點的95％間隔估計，學生將必須進行23次測量。

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