密碼學 模運算

取模運算（“Modulus Operation”）

它和取余運算（“Remainder Operation ”）兩個概念有重疊的部分但又不完全一致。主要的區(qū)別在于對負整數(shù)進行除法運算時操作不同。取模主要是用于計算機術(shù)語中。取余則更多是數(shù)學概念。 模運算在數(shù)論和程序設(shè)計中都有著廣泛的應用，奇偶數(shù)的判別到素數(shù)的判別，從模冪運算到最大公約數(shù)的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。雖然很多數(shù)論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數(shù)都是以純理論為主，對于模運算在程序設(shè)計中的應用涉及不多。

“?！笔侵敢粋€計量系統(tǒng)的計數(shù)范圍；如時鐘，12個整點為計算范圍，則模為12；計算機也是一個計量機器，模為32位或者64位；

32位計算機正常理解 在模 范圍內(nèi)能表達的 有 [0, 232-1]；那么負數(shù)該怎么表達呢，所以出現(xiàn)了補碼；也就是 正數(shù) + 負數(shù) 正好達到模的溢出閥值232；所以在計算機中負數(shù)是用補碼方式表達的原因；

關(guān)于補碼的例子：在12模的時鐘中；假設(shè)當前時針指向10點,而準確時間是6點,調(diào)整時間可有以下兩種撥法

• 倒撥4小時,即：10-4=6 (10-4) mod 12 = 6
• 順撥8小時：10+8=12+6=6 （10+8）mod 12 = 6

在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的；因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。對“?！倍?，8和4互為補數(shù)。實際上以12模的系統(tǒng)中11和1、10和2、9和3、7和5、6和6都有這個特性；共同的特點是兩者相加等于模

“取?！睂嵸|(zhì)上是計量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數(shù)(取模)；任何有模的計量器，均可化為加減法運算

5 mod 3 = 2 例子中；模 為 3；2 為取模的值

取模和取余的區(qū)別

1.相同

假設(shè)有整數(shù)a和b，那么取模/取余運算可以分為兩步運算：

求整數(shù)商：c = a/b; 計算模/余數(shù)：2.計算?；蛘哂鄶?shù)： r = a - c*b.

2.不同

取余運算 在計算商值時 商值向0方向舍入；靠近0原則 取模運算 在計算商值時 商值向負無窮方向舍入；盡可能讓商值小的原則(不超多商值的最大值)

求模運算和求余運算在第一步不同: 取余運算在取c的值時，向0 方向舍入(fix()函數(shù))；而取模運算在計算c的值時，向負無窮方向舍入(floor()函數(shù))。

例子

取模

取余

java 中 % 是取余運算；Python中 % 是取模運算

Python代碼

## 取模，Python中可直接用%，計算模，r = a % b
def mod(a, b):
    c = a // b
    r = a - c * b
    return r


## 取余
def rem(a, b):
    c = int(a / b)
    r = a - c * b
    return r
x=mod(-5,3)
y=rem(-5,3)
print(x,y)

輸出結(jié)果 1 -2