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Julia 整數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)

2022-02-25 15:45 更新

整數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)是算術(shù)和計(jì)算的基礎(chǔ)。它們都是數(shù)字文本。例如 1 是整數(shù)文本， 1.0 是浮點(diǎn)數(shù)文本。

Julia 提供了豐富的基礎(chǔ)數(shù)值類型，全部的算數(shù)運(yùn)算符和位運(yùn)算符，以及標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)。這些數(shù)據(jù)和操作直接對(duì)應(yīng)于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)支持的操作。因此, Julia 能充分利用硬件的計(jì)算資源。另外, Julia 還從軟件層面支持任意精度的算術(shù) ，可以用于表示硬件不能原生支持的數(shù)值，當(dāng)然，這犧牲了部分運(yùn)算效率。

Julia 提供的基礎(chǔ)數(shù)值類型有：

整數(shù)類型：

Char 原生支持 Unicode 字符；詳見字符串 。

浮點(diǎn)數(shù)類型：

類型	精度	位數(shù)
`Float16`	半精度	16
`Float32`	單精度	32
`Float64`	雙精度	64

另外, 對(duì)復(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的支持建立在這些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)類型之上。所有的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)類型通過(guò)靈活用戶可擴(kuò)展的類型提升系統(tǒng)不需顯式類型轉(zhuǎn)換，就可以互相運(yùn)算。

整數(shù)

使用標(biāo)準(zhǔn)方式來(lái)表示文本化的整數(shù)：

julia> 1
1

julia> 1234
1234

整數(shù)文本的默認(rèn)類型，取決于目標(biāo)系統(tǒng)是 32 位架構(gòu)還是 64 位架構(gòu)：

# 32-bit system:
julia> typeof(1)
Int32

# 64-bit system:
julia> typeof(1)
Int64
Julia 內(nèi)部變量 `WORD_SIZE` 用以指示目標(biāo)系統(tǒng)是 32 位還是 64 位.

# 32-bit system:
julia> WORD_SIZE
32

# 64-bit system:
julia> WORD_SIZE
64

另外，Julia 定義了 Int 和 Uint 類型，它們分別是系統(tǒng)原生的有符號(hào)和無(wú)符號(hào)整數(shù)類型的別名：

# 32-bit system:
julia> Int
Int32
julia> Uint
Uint32

# 64-bit system:
julia> Int
Int64
julia> Uint
Uint64

對(duì)于不能用 32 位而只能用 64 位來(lái)表示的大整數(shù)文本，不管系統(tǒng)類型是什么，始終被認(rèn)為是 64 位整數(shù)：

# 32-bit or 64-bit system:
julia> typeof(3000000000)
Int64

無(wú)符號(hào)整數(shù)的輸入和輸出使用前綴 0x 和十六進(jìn)制數(shù)字 0-9a-f （也可以使用 A-F ）。無(wú)符號(hào)數(shù)的位數(shù)大小，由十六進(jìn)制數(shù)的位數(shù)決定：

julia> 0x1
0x01

julia> typeof(ans)
Uint8

julia> 0x123
0x0123

julia> typeof(ans)
Uint16

julia> 0x1234567
0x01234567

julia> typeof(ans)
Uint32

julia> 0x123456789abcdef
0x0123456789abcdef

julia> typeof(ans)
Uint64

二進(jìn)制和八進(jìn)制文本：

julia> 0b10
0x02

julia> typeof(ans)
Uint8

julia> 0o10
0x08

julia> typeof(ans)
Uint8

基礎(chǔ)數(shù)值類型的最小值和最大值，可由 typemin 和 typemax 函數(shù)查詢：

julia> (typemin(Int32), typemax(Int32))
(-2147483648,2147483647)

julia> for T = {Int8,Int16,Int32,Int64,Int128,Uint8,Uint16,Uint32,Uint64,Uint128}
         println("$(lpad(T,7)): [$(typemin(T)),$(typemax(T))]")
       end
   Int8: [-128,127]
  Int16: [-32768,32767]
  Int32: [-2147483648,2147483647]
  Int64: [-9223372036854775808,9223372036854775807]
 Int128: [-170141183460469231731687303715884105728,170141183460469231731687303715884105727]
  Uint8: [0,255]
 Uint16: [0,65535]
 Uint32: [0,4294967295]
 Uint64: [0,18446744073709551615]
Uint128: [0,340282366920938463463374607431768211455]

typemin 和 typemax 的返回值，與所給的參數(shù)類型是同一類的。（上述例子用到了一些將要介紹到的特性，包括 for 循環(huán) ，字符串，及內(nèi)插。）

溢出

在 Julia 中，如果計(jì)算結(jié)果超出數(shù)據(jù)類型所能代表的最大值，將會(huì)發(fā)生溢出：

julia> x = typemax(Int64)
9223372036854775807

julia> x + 1
-9223372036854775808

julia> x + 1 == typemin(Int64)
true

可見, Julia 中的算數(shù)運(yùn)算其實(shí)是一種同余算術(shù) 。它反映了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)底層整數(shù)算術(shù)運(yùn)算特性。如果有可能發(fā)生溢出，一定要顯式的檢查是否溢出；或者使用 BigInt 類型（詳見任意精度的算術(shù) ）。

為了減小溢出所帶來(lái)的影響，整數(shù)加減法、乘法、指數(shù)運(yùn)算都會(huì)把原先范圍較小的整數(shù)類型提升到 Int 或 Uint 類型。（除法、求余、位運(yùn)算則不提升類型）。

除法錯(cuò)誤

整數(shù)除法（div 功能）有兩個(gè)額外的樣例：被 0 除，和被最低的負(fù)數(shù)（typemin）-1 除。兩個(gè)例子都拋出了一個(gè) DivideError。余數(shù)和模運(yùn)算（rem 和 mod）當(dāng)它們的第二個(gè)參數(shù)為 0 時(shí)，拋出了一個(gè) DivideError。

浮點(diǎn)數(shù)

使用標(biāo)準(zhǔn)格式來(lái)表示文本化的浮點(diǎn)數(shù)：

julia> 1.0
1.0

julia> 1.
1.0

julia> 0.5
0.5

julia> .5
0.5

julia> -1.23
-1.23

julia> 1e10
1.0e10

julia> 2.5e-4
0.00025

上述結(jié)果均為 Float64 值。文本化的 Float32 值也可以直接輸入，這時(shí)使用 f 來(lái)替代 e ：

julia> 0.5f0
0.5f0

julia> typeof(ans)
Float32

julia> 2.5f-4
0.00025f0

浮點(diǎn)數(shù)也可以很容易地轉(zhuǎn)換為 Float32 ：

julia> float32(-1.5)
-1.5f0

julia> typeof(ans)
Float32

十六進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的類型，只能為 Float64 ：

julia> 0x1p0
1.0

julia> 0x1.8p3
12.0

julia> 0x.4p-1
0.125

julia> typeof(ans)
Float64

Julia 也支持半精度浮點(diǎn)數(shù)(Float16) ，但只用來(lái)存儲(chǔ)。計(jì)算時(shí)，它們被轉(zhuǎn)換為 Float32 ：

julia> sizeof(float16(4.))
2

julia> 2*float16(4.)
8.0f0

浮點(diǎn)數(shù)類型的零

浮點(diǎn)數(shù)類型中存在兩個(gè)零，正數(shù)的零和負(fù)數(shù)的零。它們相等，但有著不同的二進(jìn)制表示，可以使用 bits 函數(shù)看出：

julia> 0.0 == -0.0
true

julia> bits(0.0)
"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

julia> bits(-0.0)
"1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

特殊的浮點(diǎn)數(shù)

有三個(gè)特殊的標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)：

特殊值			名稱	描述
Float16	Float32	Float64
Inf16	Inft32	Inf	正無(wú)窮	比所有的有限的浮點(diǎn)數(shù)都大
-Inf16	-Inft32	-Inf	負(fù)無(wú)窮	比所有的有限的浮點(diǎn)數(shù)都小
NaN16	NaN32	NaN	不存在	不能和任意浮點(diǎn)數(shù)比較大?。òㄋ约海?/td>

詳見數(shù)值比較 。按照 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn) ，這幾個(gè)值可如下獲得：

julia> 1/Inf
0.0

julia> 1/0
Inf

julia> -5/0
-Inf

julia> 0.000001/0
Inf

julia> 0/0
NaN

julia> 500 + Inf
Inf

julia> 500 - Inf
-Inf

julia> Inf + Inf
Inf

julia> Inf - Inf
NaN

julia> Inf * Inf
Inf

julia> Inf / Inf
NaN

julia> 0 * Inf
NaN

typemin 和 typemax 函數(shù)也適用于浮點(diǎn)數(shù)類型：

julia> (typemin(Float16),typemax(Float16))
(-Inf16,Inf16)

julia> (typemin(Float32),typemax(Float32))
(-Inf32,Inf32)

julia> (typemin(Float64),typemax(Float64))
(-Inf,Inf)

精度

大多數(shù)的實(shí)數(shù)并不能用浮點(diǎn)數(shù)精確表示，因此有必要知道兩個(gè)相鄰浮點(diǎn)數(shù)間的間距，也即計(jì)算機(jī)的精度。

Julia 提供了 eps 函數(shù)，可以用來(lái)檢查 1.0 和下一個(gè)可表示的浮點(diǎn)數(shù)之間的間距：

julia> eps(Float32)
1.1920929f-7

julia> eps(Float64)
2.220446049250313e-16

julia> eps() # same as eps(Float64)
2.220446049250313e-16

eps 函數(shù)也可以取浮點(diǎn)數(shù)作為參數(shù)，給出這個(gè)值和下一個(gè)可表示的浮點(diǎn)數(shù)的絕對(duì)差，即，eps(x) 的結(jié)果與 x 同類型，且滿足 x + eps(x) 是下一個(gè)比 x 稍大的、可表示的浮點(diǎn)數(shù)：

julia> eps(1.0)
2.220446049250313e-16

julia> eps(1000.)
1.1368683772161603e-13

julia> eps(1e-27)
1.793662034335766e-43

julia> eps(0.0)
5.0e-324

相鄰的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)之間的距離并不是固定的，數(shù)值越小，間距越?。粩?shù)值越大, 間距越大。換句話說(shuō)，浮點(diǎn)數(shù)在 0 附近最稠密，隨著數(shù)值越來(lái)越大，數(shù)值越來(lái)越稀疏，數(shù)值間的距離呈指數(shù)增長(zhǎng)。根據(jù)定義， eps(1.0) 與 eps(Float64) 相同，因?yàn)?1.0 是 64 位浮點(diǎn)數(shù)。

函數(shù) nextfloat 和 prevfloat 可以用來(lái)獲取下一個(gè)或上一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)：

julia> x = 1.25f0
1.25f0

julia> nextfloat(x)
1.2500001f0

julia> prevfloat(x)
1.2499999f0

julia> bits(prevfloat(x))
"00111111100111111111111111111111"

julia> bits(x)
"00111111101000000000000000000000"

julia> bits(nextfloat(x))
"00111111101000000000000000000001"

此例顯示了鄰接的浮點(diǎn)數(shù)和它們的二進(jìn)制整數(shù)的表示。

舍入模型

如果一個(gè)數(shù)沒有精確的浮點(diǎn)數(shù)表示，那就需要舍入了。可以根據(jù) IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn) 來(lái)更改舍入的模型：

julia> 1.1 + 0.1
1.2000000000000002

julia> with_rounding(Float64,RoundDown) do
       1.1 + 0.1
       end
1.2

默認(rèn)舍入模型為 RoundNearest ，它舍入到最近的可表示的值，這個(gè)被舍入的值使用盡量少的有效數(shù)字。

背景和參考資料

浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算同人們的預(yù)期存在著許多差異，特別是對(duì)不了解底層實(shí)現(xiàn)的人。許多科學(xué)計(jì)算的書籍都會(huì)詳細(xì)的解釋這些差異。下面是一些參考資料：

關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)算數(shù)運(yùn)算最權(quán)威的指南是 IEEE 754-2008 標(biāo)準(zhǔn) ；然而，該指南沒有免費(fèi)的網(wǎng)絡(luò)版
一個(gè)簡(jiǎn)短但是清晰地解釋了浮點(diǎn)數(shù)是怎么表示的, 請(qǐng)參考 John D. Cook 的文章。它還簡(jiǎn)述了由于浮點(diǎn)數(shù)的表示方法不同于理想的實(shí)數(shù)會(huì)帶來(lái)怎樣的問題
推薦 Bruce Dawson 的關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)的博客
David Goldberg 的每個(gè)計(jì)算機(jī)科學(xué)家都需要了解的浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)計(jì)算，是一篇非常精彩的文章，深入討論了浮點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)的精度問題
更深入的文檔, 請(qǐng)參考“浮點(diǎn)數(shù)之父”William Kahan 的 collected writings ，其中詳細(xì)記錄了浮點(diǎn)數(shù)的歷史、理論依據(jù)、問題，還有其它很多的數(shù)值計(jì)算方面的內(nèi)容。更有興趣的可以讀采訪浮點(diǎn)數(shù)之父

任意精度的算術(shù)

為保證整數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算的精度，Julia 打包了 GNU Multiple Precision Arithmetic Library, GMP(https://gmplib.org/) 和 GNU MPFR Library。Julia 相應(yīng)提供了 BigInt 和 BigFloat 類型。

可以通過(guò)基礎(chǔ)數(shù)值類型或 String 類型來(lái)構(gòu)造：

julia> BigInt(typemax(Int64)) + 1
9223372036854775808

julia> BigInt("123456789012345678901234567890") + 1
123456789012345678901234567891

julia> BigFloat("1.23456789012345678901")
1.234567890123456789010000000000000000000000000000000000000000000000000000000004e+00 with 256 bits of precision

julia> BigFloat(2.0^66) / 3
2.459565876494606882133333333333333333333333333333333333333333333333333333333344e+19 with 256 bits of precision

julia> factorial(BigInt(40))
815915283247897734345611269596115894272000000000

然而，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)類型和 BigInt/BigFloat 不能自動(dòng)進(jìn)行類型轉(zhuǎn)換，需要明確指定：

julia> x = typemin(Int64)
-9223372036854775808

julia> x = x - 1
9223372036854775807

julia> typeof(x)
Int64

julia> y = BigInt(typemin(Int64))
-9223372036854775808

julia> y = y - 1
-9223372036854775809

julia> typeof(y)
BigInt (constructor with 10 methods)

BigFloat 運(yùn)算的默認(rèn)精度（有效數(shù)字的位數(shù)）和舍入模型，是可以改的。然后，計(jì)算就都按照更改之后的設(shè)置來(lái)運(yùn)行了：

julia> with_rounding(BigFloat,RoundUp) do
       BigFloat(1) + BigFloat("0.1")
       end
1.100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003e+00 with 256 bits of precision

julia> with_rounding(BigFloat,RoundDown) do
       BigFloat(1) + BigFloat("0.1")
       end
1.099999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999986e+00 with 256 bits of precision

julia> with_bigfloat_precision(40) do
       BigFloat(1) + BigFloat("0.1")
       end
1.1000000000004e+00 with 40 bits of precision

代數(shù)系數(shù)

Julia 允許在變量前緊跟著數(shù)值文本，來(lái)表示乘法。這有助于寫多項(xiàng)式表達(dá)式：

julia> x = 3
3

julia> 2x^2 - 3x + 1
10

julia> 1.5x^2 - .5x + 1
13.0

指數(shù)函數(shù)也更好看：

julia> 2^2x
64

數(shù)值文本系數(shù)同單目運(yùn)算符一樣。因此 2^3x 被解析為 2^(3x) ， 2x^3 被解析為 2*(x^3) 。

數(shù)值文本也可以作為括號(hào)表達(dá)式的因子：

julia> 2(x-1)^2 - 3(x-1) + 1
3

括號(hào)表達(dá)式可作為變量的因子：

julia> (x-1)x
6

不要接著寫兩個(gè)變量括號(hào)表達(dá)式，也不要把變量放在括號(hào)表達(dá)式之前。它們不能被用來(lái)指代乘法運(yùn)算：

julia> (x-1)(x+1)
ERROR: type: apply: expected Function, got Int64

julia> x(x+1)
ERROR: type: apply: expected Function, got Int64

這兩個(gè)表達(dá)式都被解析為函數(shù)調(diào)用：任何非數(shù)值文本的表達(dá)式，如果后面跟著括號(hào)，代表調(diào)用函數(shù)來(lái)處理括號(hào)內(nèi)的數(shù)值（詳見函數(shù)）。因此，由于左面的值不是函數(shù)，這兩個(gè)例子都出錯(cuò)了。

需要注意，代數(shù)因子和變量或括號(hào)表達(dá)式之間不能有空格。

語(yǔ)法沖突

文本因子與兩個(gè)數(shù)值表達(dá)式語(yǔ)法沖突: 十六進(jìn)制整數(shù)文本和浮點(diǎn)數(shù)文本的科學(xué)計(jì)數(shù)法：

十六進(jìn)制整數(shù)文本表達(dá)式 0xff 可以被解析為數(shù)值文本 0 乘以變量 xff
浮點(diǎn)數(shù)文本表達(dá)式 1e10 可以被解析為數(shù)值文本 1 乘以變量 e10 。E 格式也同樣。

這兩種情況下，我們都把表達(dá)式解析為數(shù)值文本：

以 0x 開頭的表達(dá)式，都被解析為十六進(jìn)制文本
以數(shù)字文本開頭，后面跟著 e 或 E ，都被解析為浮點(diǎn)數(shù)文本

零和一

Julia 提供了一些函數(shù), 用以得到特定數(shù)據(jù)類型的零和一文本。

函數(shù)	說(shuō)明
`zero(x)`	類型 `x` 或變量 `x` 的類型下的文本零
`one(x)`	?`類型x`?或?`變量x`? 的類型下的文本一

這倆函數(shù)在數(shù)值比較中可用來(lái)避免額外的類型轉(zhuǎn)換。

例如：

julia> zero(Float32)
0.0f0

julia> zero(1.0)
0.0

julia> one(Int32)
1

julia> one(BigFloat)
1e+00 with 256 bits of precision

以上內(nèi)容是否對(duì)您有幫助：

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