（五）浮點(diǎn)數(shù)（誰偷了你的精度？）

光棍節(jié)加長版

如果我告訴你，中關(guān)村配置最高的電子計(jì)算機(jī)的計(jì)算精度還不如一個(gè)便利店賣的手持計(jì)算器，你一定會(huì)反駁我：「今天寫博客之前又忘記吃藥了吧」。

你可以用最主流的編程語言計(jì)算?0.2 + 0.4，如果你使用的是 Chrome、FireFox、IE 8+，可以按 F12 鍵，然后找到 「控制臺(tái)」，輸入上面的?表達(dá)式?0.2 + 0.4，回車。

然后再用最簡陋的計(jì)算器（如果你沒有手持計(jì)算器沒關(guān)系，手機(jī)、電腦都自帶一個(gè)計(jì)算器，打開“運(yùn)行”，輸入calc，回車） 再計(jì)算一下剛才的?算式?0.2 + 0.4。

怎么樣？同意我的觀點(diǎn)了吧！?再簡陋的計(jì)算器也比超級(jí)計(jì)算器的精度高，關(guān)鍵不在于它的頻率和內(nèi)存，而在于它是如何設(shè)計(jì)、如何表示、如何計(jì)算的。

不能表示 VS 不能精確表示

在上一章『浮點(diǎn)數(shù)（從驚訝到思考）』中我們講到用浮點(diǎn)數(shù)表示?數(shù)?時(shí)出現(xiàn)的問題——很多數(shù)都?不能表示。（注意浮點(diǎn)數(shù)表示的是數(shù)，而不僅僅是小數(shù)。）

如果你數(shù)學(xué)比較好，或者你確信你身體健康，沒有心臟病、高血壓，沒有受過重大精神創(chuàng)傷，那我告訴你， 在浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍內(nèi)，有多于 99.999...% 的數(shù)在計(jì)算機(jī)中是?不能表示?的。 真的是太令人吃驚，也太令人遺憾了。 真相總是很殘忍。

請注意我使用的措辭，區(qū)別開?不能表示?和?不能精確表示。

下面我從數(shù)量級(jí)分析一下，32bit 浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍是 10 的 38 次方，而表示個(gè)數(shù)呢，是 10 的 10 次方。 能夠被表示的數(shù)只有 1/100000000.... （大概有30個(gè)零），這個(gè)數(shù)多大呢？還記得那個(gè)國際象棋和麥子的故事嗎？

為了讓你了解?指數(shù)的威力，我再舉個(gè)例子：

有一張很大很大的紙，對(duì)折 38 次，會(huì)有多高呢？ 一米？一百米？比珠峰還高？再次考驗(yàn)?zāi)阈呐K承受能力的時(shí)刻到了：它不僅僅比珠峰高，其實(shí)它已經(jīng)快到達(dá)月球了。

回到原來的話題，還有更殘忍的真相。 在剩下的可以表示的不到 0.000...1% 的數(shù)中，又有多少不能精確表示呢？這就是我寫這篇博客的目的。

上一章中我還給出了一種用定點(diǎn)數(shù)精確表示小數(shù)的方法。 事實(shí)上，手持計(jì)算器、java 中的 BigDecimal、C# 中的貨幣類型、MySQL 中的 NUMERIC 類型就是這么干的。 你還記得在數(shù)據(jù)庫中添加字段時(shí)的 SQL 語句是如何寫的嗎？現(xiàn)在明白為什么我說?再簡陋的計(jì)算器也比超級(jí)計(jì)算器的精度高?了吧。

這篇博客我將為大家講解為什么很多數(shù)?不能精確表示，本篇可能比較燒腦子，我會(huì)盡量用最通俗的語言，最貼近現(xiàn)實(shí)的例子來講解，不在乎篇幅有多長，關(guān)鍵是要給大家講明白。下一篇，你將了解到浮點(diǎn)數(shù)如何工作，以及為什么很多數(shù)?不能表示。

熱身?—— 問：要把小數(shù)裝入計(jì)算機(jī)，總共分幾步？你猜對(duì)了，3 步。

• 第一步：轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制
• 第二步：用二進(jìn)制科學(xué)計(jì)算法表示
• 第三步：表示成 IEEE 754 形式

在上面的第一步和第三步都有可能?丟失精度。

十進(jìn)制 VS 二進(jìn)制

下面我們討論如何把十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)（什么？你不會(huì)？請自覺去面壁）。

考慮我們將 1/7（七分之一） 寫成小數(shù)的時(shí)候是如何做的？

用 1 除以 7，得到的商就是小數(shù)部分，剩下的余數(shù)我們繼續(xù)除以 7，一直除到什么時(shí)候結(jié)束呢？ 有兩種情況：

1. 如果余數(shù)為 0。yeah！終于結(jié)束了，洗洗睡吧

2. 當(dāng)除到某一步時(shí)，余數(shù)等于 1… 停！stop！等一下，我發(fā)現(xiàn)有什么地方怪怪的。余數(shù)為 1，余數(shù)如果為 1 的話，再繼續(xù)除下去，不就又是 1/7 了嗎？繞了一個(gè)大彎，又回來了？對(duì)，你猜的很對(duì)，它永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束，它循環(huán)了。

注意我上面說的 情況2，我們判斷他循環(huán)，并?不是從直觀看感覺它重復(fù)了，而是因?yàn)?在計(jì)算過程中，它又回到了開頭**。為什么這么說呢？當(dāng)你計(jì)算一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，它總是連續(xù)出現(xiàn) 5，出現(xiàn)了好多次，例如 0.5555555… 你也無法斷定它是無限循環(huán)的，比如 一億分之五。

記得高中時(shí)，從一本數(shù)學(xué)課外書學(xué)到了手動(dòng)開平方的方法，于是很興奮的去計(jì)算 2 的平方根，發(fā)現(xiàn)它的前幾位是 1.414，哇，原來「2的平方根」等于 1.414141…。很多天以后，當(dāng)我再次看到我的筆記時(shí)，只能苦笑了，「2的平方根」不可能循環(huán)啊，它可是一個(gè)無理數(shù)啊。

你可能不耐煩了，嘰哩哇啦說這么多，有用嗎？當(dāng)然有用了，以后如果 MM 問你：你會(huì)愛我到什么時(shí)候？你可以回答她：我會(huì)愛你到 1/7 的盡頭。難道我會(huì)把我的表白方式告訴你們嗎？?我對(duì)你的愛就像圓周率，無限——卻永不重復(fù)。

扯遠(yuǎn)了，現(xiàn)在會(huì)到主題。 你也許會(huì)說：我明白了，循環(huán)小數(shù)不能精確表示，放到計(jì)算機(jī)中會(huì)丟失精度； 那么有限小數(shù)可以精確表示吧，比如 0.1。

對(duì)于無限小數(shù)，不只是計(jì)算機(jī)不能精確表示，即使你用別的辦法（省略號(hào)除外），比如紙、黑板、寫字板…都無法精確表示。什么？手機(jī)？也不能，當(dāng)然不能了。不，不，iPad也不行，1萬買的也不行，真的，再貴的本子也寫不下。

哪些數(shù)能精確表示？

那么 0.1 在計(jì)算機(jī)中可以精確表示嗎？

答案是出人意料的，?不能。

在此之前，先思考個(gè)問題：?在 0.1 到 0.9 的 9 個(gè)小數(shù)中，有多少可以用二進(jìn)制精確表示呢？

我們按照乘以 2 取整數(shù)位的方法，把 0.1 表示為二進(jìn)制（我假設(shè)那些不會(huì)進(jìn)制轉(zhuǎn)換的同學(xué)已經(jīng)補(bǔ)習(xí)完了）：

(1) 0.1 x 2 = 0.2  取整數(shù)位 0 得 0.0
(2) 0.2 x 2 = 0.4  取整數(shù)位 0 得 0.00
(3) 0.4 x 2 = 0.8  取整數(shù)位 0 得 0.000
(4) 0.8 x 2 = 1.6  取整數(shù)位 1 得 0.0001
(5) 0.6 x 2 = 0.2  取整數(shù)位 1 得 0.00011
(6) 0.2 x 2 = 0.4  取整數(shù)位 0 得 0.000110
(7) 0.4 x 2 = 0.8  取整數(shù)位 0 得 0.0001100
(8) 0.8 x 2 = 1.6  取整數(shù)位 1 得 0.00011001
(9) 0.6 x 2 = 1.2  取整數(shù)位 1 得 0.000110011
(n) ...

我們得到一個(gè)無限循環(huán)的二進(jìn)制小數(shù) 0.000110011...

我為什么要把這個(gè)計(jì)算過程這么詳細(xì)的寫出來呢？就是為了讓你看，多看幾遍，再多看幾遍，繼續(xù)看… 還沒看出來，好吧，把眼睛揉一下，我提示你，把第一行去掉，從 (2) 開始看，看到 (6)，對(duì)比一下 (2) 和 (6)。 然后把前兩行去掉，從 (3) 開始看…

明白了吧，0.2、0.4、0.6、0.8 都不能精確的表示為二進(jìn)制小數(shù)。 難以置信，這可是所有的偶數(shù)??！那奇數(shù)呢？ 答案就是：

0.1 到 0.9 的 9 個(gè)小數(shù)中，只有 0.5 可以用二進(jìn)制精確的表示。

如果把 0.0 再算上，那么就有兩個(gè)數(shù)可以精確表示，一個(gè)奇數(shù) 0.5，一個(gè)偶數(shù) 0.0。 為什么是兩個(gè)呢？因?yàn)橛?jì)算機(jī)二唄，其實(shí)計(jì)算機(jī)還真夠二的。

世界上有 10 種人，一種是懂二進(jìn)制的，一種是不懂二進(jìn)制的。

其實(shí)答案很顯然，我再領(lǐng)大家換個(gè)角度思考，0.5 就是一半的意思。 在十進(jìn)制中，進(jìn)制的基數(shù)是 10，而 5 正好是 10 的一半。 2 的一半是多少？當(dāng)然是 1 了。 所以，十進(jìn)制的 0.5 就是二進(jìn)制的 0.1。如果我用八進(jìn)制呢？ 不用計(jì)算你就應(yīng)該立刻回答：0.4；轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制呢，當(dāng)然就是 0.8 了。

(0.5)10?= (0.1)2?= (0.4)8?= (0.8)16

如果你還想繼續(xù)思考，就又會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的事實(shí)，我們稱之為 定理A。 我們上面的數(shù)，都是小數(shù)點(diǎn)后面一位小數(shù)，因此，在十進(jìn)制中，這樣的小數(shù)有 10 個(gè)（就是 0 到 9）； 同理，在二進(jìn)制中，如果我們讓小數(shù)點(diǎn)后面有一位小數(shù)，應(yīng)該有多少個(gè)呢？當(dāng)然是 2 個(gè)了（0 和 1）。

哇，好像發(fā)現(xiàn)了新大陸一樣，很興奮是吧。那我再給你一棒，其實(shí)定理A是錯(cuò)的。再重申一遍?盡信書，則不如無書。我寫博客的目的?不是把我的思想灌輸?shù)侥愕哪X子里，你應(yīng)該有自己的思想，自己的思考方式，當(dāng)我得出這個(gè)結(jié)論時(shí)，你應(yīng)該立刻反駁我：“按照你的思路，如果是 16 進(jìn)制的話，應(yīng)該可以精確表示所有的 0.1 到 0.9 的數(shù)甚至還可以精確表示其它的 6 個(gè)數(shù)。而事實(shí)呢，16 進(jìn)制可以精確表示的數(shù) 和 2 進(jìn)制可以精確表示的數(shù)是一樣的，只能精確表示 0.5?！?/p>

那么到底怎么確定一個(gè)數(shù)能否精確表示呢？還是回到我們熟悉的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)。

1/2、5/9、34/25 哪些可以寫成有限小數(shù)？把一個(gè)分?jǐn)?shù)化到最簡（分子分母無公約數(shù)），如果分母的因式分解只有 2 和 5，那么就可以寫成有限小數(shù)，否則就是無限循環(huán)小數(shù)。為什么是 2 和 5 呢？因?yàn)樗麄兪?10 的因子 10 = 2 x 5。

二進(jìn)制和十六進(jìn)制呢？他們的因子只有 2，所以十六進(jìn)制只是二進(jìn)制的一種簡寫形式，它的精度和二進(jìn)制一樣。

如果一個(gè)十進(jìn)制數(shù)可以用二進(jìn)制精確表示，那么它的最后一位肯定是 5。

備注：這是個(gè)必要條件，而不是充分條件。一位熱心網(wǎng)友設(shè)計(jì)出了下面的解決精度的方案。我就不解釋了，同學(xué)們自己思考一下吧。

我有一個(gè)觀點(diǎn)，針對(duì)小數(shù)精度不夠的問題（例如 0.1），軟件可以人為的在數(shù)據(jù)最后一位補(bǔ) 5， 也就是 0.15，這樣犧牲一位，但是可以保證數(shù)據(jù)精度，還原再把那個(gè)尾巴 5 去掉。

請同學(xué)們思考一下。

精度在哪兒丟失？

一位熱心網(wǎng)友?獨(dú)孤小敗?在 OSC 上回復(fù)了我上一篇文章，提出了一個(gè)疑問：

在 java 中計(jì)算 0.2 + 0.4 得到的結(jié)果是

// 代碼(a)
double d = 0.2 + 0.4;  // 結(jié)果是 0.6000000000000001

但是當(dāng)直接輸出 0.6 的時(shí)候，確實(shí)是 0.6

// 代碼(b)
double d = 0.6;  // 結(jié)果是 0.6

好像很矛盾。很顯然，通過代碼(b)可以知道，在 java 中，可以精確?顯示?0.6，哪怕 0.6 不能被精確表示，但至少能精確把 0.6 顯示出來，這不是和代碼(a)矛盾了嗎？

這又是一個(gè)?想當(dāng)然的錯(cuò)誤，在直觀上認(rèn)為 0.2 + 0.4 = 0.6 是必然成立的（在數(shù)學(xué)上確實(shí)如此），既然(a)的結(jié)果是 0.6，而且 java 可以精確輸出 0.6，那么代碼(a)的結(jié)果應(yīng)該輸出 0.6。

其實(shí)在計(jì)算機(jī)上 0.2 + 0.4 根本就不等于 0.6 （為什么？可以查看本系列『運(yùn)算符』），因?yàn)?0.2 和 0.4 都不能被精確表示。?浮點(diǎn)數(shù)的精度丟失在每一個(gè)表達(dá)式，而不僅僅是表達(dá)式的求值結(jié)果。

我們用數(shù)學(xué)中的概念類比一下，比如四舍五入，我們計(jì)算 1.6 + 2.8 保留整數(shù)。

1.6 + 2.8 = 4.4 

四舍五入得到 4。我們用另一種方法

先把 1.6 四舍五入為 2
再把 2.8 四舍五入為 3
最后求和 2 + 3 = 5

通過兩種運(yùn)算，我們得到了兩個(gè)結(jié)果 4 和 5。同理，在我們的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算中，參與運(yùn)算的兩個(gè)數(shù) 0.2 和 0.4 精度已經(jīng)丟失了，所以他們求和的結(jié)果已經(jīng)不是 0.6 了。

后記

上面一直在討論小數(shù)，整數(shù)呢？在博客園，一位童鞋為下面的代碼抓狂了：

JSON.parse('{"status":1,"id":9986705337161735,"name":"test"}').id; 

把這段代碼復(fù)制到 Chrome 的 Console 中，按回車， 詭異的問題出現(xiàn)了 9986705337161735 居然變成了 9986705337161736！原始數(shù)據(jù)加了 1。

9986705337161735
9986705337161736

一開始以為是溢出，換了個(gè)更大的數(shù)：9986705337161738 發(fā)現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問題。

但是 9986705337161739 輸出又變成了 9986705337161740！

9986705337161739
9986705337161740

測試幾次之后發(fā)現(xiàn)瀏覽器輸出數(shù)字的一個(gè)規(guī)律（justjavac注：其實(shí)這個(gè)規(guī)律是錯(cuò)誤的）：

1. 十位數(shù)為偶數(shù)，個(gè)位數(shù)為奇數(shù)時(shí)會(huì)減 1，個(gè)位數(shù)為奇數(shù)時(shí)會(huì)加1
2. 十位數(shù)為奇數(shù)，個(gè)位數(shù)為奇數(shù)時(shí)會(huì)加 1，個(gè)位數(shù)為奇數(shù)時(shí)會(huì)減1

又多測了幾次，發(fā)現(xiàn)根本沒有規(guī)律，很混亂！！有時(shí)候是加，有時(shí)候是減??！

解析：

這顯然不僅僅是丟失精度的問題，欲知后事如何…咳咳…靜待下一篇吧。