在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，邏輯回歸是一個(gè)非常經(jīng)典的算法。今天小編帶來(lái)的是一片關(guān)于邏輯回歸算法的介紹與實(shí)現(xiàn)，希望能給各位小伙伴帶來(lái)一些幫助。
一、題目
1.主題：邏輯回歸
2.描述：假設(shè)你是某大學(xué)招生主管，你想根據(jù)兩次考試的結(jié)果決定每個(gè)申請(qǐng)者的錄取
機(jī)會(huì)。現(xiàn)有以往申請(qǐng)者的歷史數(shù)據(jù)，可以此作為訓(xùn)練集建立邏輯回歸模型，并用
其預(yù)測(cè)某學(xué)生能否被大學(xué)錄取。
3.數(shù)據(jù)集：文件 ex2data1.txt ，第一列、第二列分別表示申請(qǐng)者兩次
考試的成績(jī)，第三列表示錄取結(jié)果（1 表示錄取，0 表示不錄?。?。
二、目的
1.理解邏輯回歸模型
2.掌握邏輯回歸模型的參數(shù)估計(jì)算法
三、平臺(tái)
1.硬件：計(jì)算機(jī)
2.操作系統(tǒng)：WINDOWS
3.編程軟件：Pycharm
4.開(kāi)發(fā)語(yǔ)言：python
四、基本原理
注：基本原理是我們?cè)趯W(xué)習(xí)邏輯回歸過(guò)程中的一些總結(jié)，包括為什么要選擇對(duì)數(shù)損失函數(shù)等。
4.1 邏輯回歸
邏輯回歸就是將樣本的特征可樣本發(fā)生的概率聯(lián)合起來(lái)，概率就是一個(gè)數(shù)，所以就是解決分類問(wèn)題，一般解決二分類問(wèn)題。
對(duì)于線性回歸中，f ( x ) = w T x + b ，這里 f ( x ) 的范圍為[ ? ∞ , + ∞ ]，說(shuō)明通過(guò)線性回歸中我們可以求得任意的一個(gè)值。對(duì)于邏輯回歸來(lái)說(shuō)就是概率，這個(gè)概率取值需要在區(qū)間[0,1]內(nèi)，通常我們使用Sigmoid函數(shù)表示。
Sigmoid函數(shù)其表達(dá)式為（2）
最終我們可以通過(guò)Sigmoid函數(shù)求出對(duì)于每組自變量使得因變量預(yù)測(cè)為1的概率P；
即：
（當(dāng)P>0.5時(shí)預(yù)測(cè)為1，小于0.5為0）
在分類情況下，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)后的LR分類器其實(shí)就是一組權(quán)值θ ，當(dāng)有測(cè)試樣本輸入時(shí)，這組權(quán)值與測(cè)試數(shù)據(jù)按照加權(quán)得到
之后按照Sigmoid函數(shù)的形式求出
從而去判斷每個(gè)測(cè)試樣本所屬的類別。
4.2 損失函數(shù)
實(shí)驗(yàn)一我們做線性回歸模型時(shí)，給出了線性回歸的代價(jià)函數(shù)的形式（誤差平方和函數(shù)），具體形式如：
但是并不能應(yīng)用到邏輯回歸中，這是因?yàn)長(zhǎng)R的假設(shè)函數(shù)的外層函數(shù)是Sigmoid函數(shù)，Sigmoid函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的非線性函數(shù)，這就使得我們將邏輯回歸的假設(shè)函數(shù)
帶入上式時(shí)，我們得到的 是一個(gè)非凸函數(shù)，如下圖：
因此，此處我們需要重新考慮損失函數(shù)；
在邏輯回歸中，我們最常用的損失函數(shù)為對(duì)數(shù)損失函數(shù)，對(duì)數(shù)損失函數(shù)可以為L(zhǎng)R提供一個(gè)凸的代價(jià)函數(shù)，有利于使用梯度下降對(duì)參數(shù)求解。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像如圖：
藍(lán)色的曲線表示的是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，紅色的曲線表示的是負(fù)對(duì)數(shù) 的圖像，該圖像在0-1區(qū)間上有一個(gè)很好的性質(zhì)，如圖粉紅色曲線部分。在0-1區(qū)間上當(dāng)z=1時(shí)，函數(shù)值為0，而z=0時(shí)，函數(shù)值為無(wú)窮大。這就可以和代價(jià)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，在預(yù)測(cè)分類中當(dāng)算法預(yù)測(cè)正確其代價(jià)函數(shù)應(yīng)該為0；當(dāng)預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，我們就應(yīng)該用一個(gè)很大代價(jià)（無(wú)窮大）來(lái)懲罰我們的學(xué)習(xí)算法，使其不要輕易預(yù)測(cè)錯(cuò)誤。
因此，我們重新定義邏輯回歸的代價(jià)函數(shù)為：
損失函數(shù)的求解為：
五、實(shí)驗(yàn)步驟
1.數(shù)據(jù)可視化
在python中通過(guò)文件導(dǎo)入數(shù)據(jù)，并使用matlibplot工具建立對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖：
需要注意的是，我們的theta是三元組，θ0對(duì)應(yīng)的X特征值固定為1，因此讀取數(shù)據(jù)時(shí)，如上圖最左側(cè)加入一個(gè)1；
可以看到，被錄取與不被錄取的數(shù)據(jù)有較為清晰的一個(gè)界限，接下來(lái)我們要求解的就是這條界線；
2. 將線性回歸參數(shù)初始化為0，計(jì)算代價(jià)函數(shù)(cost function)的初始值
根據(jù)基本原理中的代價(jià)計(jì)算公式，這里將sigmoid、損失公式代碼化：
將theta初始化為（0，0，0）后，直接調(diào)用cost函數(shù)求值：
得到代價(jià)函數(shù)初始值：
3. 選擇一種優(yōu)化方法求解邏輯回歸參數(shù)
(1)梯度下降法
我們選擇先用梯度下降法來(lái)觀察theta參數(shù)結(jié)果；
梯度下降算法代碼實(shí)現(xiàn)如圖：
X：對(duì)于線性回歸中的常量b，我們可以將它的系數(shù)視為1，然后和變量x組成一個(gè)m行3列的矩陣，其中m是數(shù)據(jù)規(guī)模，這個(gè)矩陣就是X。
Y：一個(gè)m行1列的矩陣，對(duì)應(yīng)是否錄取。
alpha：學(xué)習(xí)率
第一步，將我們的Θ初始化為[[0][0][0]]。
第二步，對(duì)于給定的步長(zhǎng)alpha和此時(shí)的梯度gradient，更新我們的theta。然后計(jì)算此時(shí)thrta對(duì)應(yīng)的梯度更新gradient。
第三步，重復(fù)第二步30萬(wàn)次
第四步，返回theta，即為我們線性回歸的參數(shù)。
但是，對(duì)于邏輯回歸來(lái)說(shuō)，這里遇到了一個(gè)問(wèn)題，那就是alpha和迭代次數(shù)的取值，如果alpha過(guò)小，損失函數(shù)將收斂的非常慢，迭代次數(shù)達(dá)到40萬(wàn)時(shí)才勉強(qiáng)收斂，但如果alpha過(guò)大，又會(huì)導(dǎo)致過(guò)大的步長(zhǎng)使得準(zhǔn)確率下降；
alpha = 0.001時(shí)的收斂函數(shù)，在50萬(wàn)次時(shí)收斂： 0.005時(shí)在25萬(wàn)次時(shí)收斂；
而如果alpha繼續(xù)增大（如0.01），將導(dǎo)致不夠準(zhǔn)確，其界限與收斂圖形如下：
（界限太差，僅80%準(zhǔn)確率，且需要20萬(wàn)次迭代）
因此，我們?cè)谶\(yùn)行該數(shù)據(jù)時(shí)需要運(yùn)行稍長(zhǎng)的時(shí)間；alpha=0.005，迭代次數(shù)為30萬(wàn)時(shí)可以得到一組回歸參數(shù)：
它的劃分邊界如圖所示，其準(zhǔn)確率為92%：該參數(shù)的劃分準(zhǔn)確率計(jì)算方法如下：
測(cè)試準(zhǔn)確率：
比較簡(jiǎn)單，預(yù)測(cè)正確則加一，最后除以全部樣本數(shù)。
(2)牛頓迭代法
因?yàn)樯鲜龅牡陆捣ㄋ璧螖?shù)過(guò)多，因此這里使用一種優(yōu)化方法來(lái)求解參數(shù)；
方法介紹
牛頓迭代法的原理較為復(fù)雜，因此不在這里寫出來(lái)。
對(duì)比這牛頓迭代法方法與梯度下降法的參數(shù)更新公式可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法不同在于牛頓法中多了一項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)，這項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)對(duì)參數(shù)更新的影響主要體現(xiàn)在 改變參數(shù)更新方向上。
如圖所示，紅色是牛頓法參數(shù)更新的方向，綠色為梯度下降法參數(shù)更新方向，因?yàn)榕ｎD法考慮了二階導(dǎo)數(shù)，因而可以找到更優(yōu)的參數(shù)更新方向，在每次更新的步幅相同的情況下，可以比梯度下降法節(jié)省很多的迭代次數(shù)。
迭代過(guò)程：
代碼實(shí)現(xiàn)
h值為sigmoid函數(shù)求得的概率；
J為一階偏導(dǎo)數(shù)
H為Hession矩陣（海森矩陣），二階偏導(dǎo)數(shù)
牛頓迭代法得到的theta：
優(yōu)點(diǎn)
對(duì)于同樣的學(xué)習(xí)率alpha = 0.005，cost僅需要1000次迭代就差不多收斂了；
而如果放大alpha，如alpha = 0.5，那么它只需要迭代10次即可收斂。
并且準(zhǔn)確率保持在89%（數(shù)據(jù)較小）；
3. 某學(xué)生兩次考試成績(jī)分別為 42、85，預(yù)測(cè)其被錄取的概率
這里直接使用sigmoid函數(shù)以及牛頓迭代法求得的theta來(lái)進(jìn)行其概率的計(jì)算：
得到結(jié)果：
即，y=1的概率為0.65145509，也就是被錄取的概率
4. 畫出分類邊界
在上面已經(jīng)畫出了梯度下降法的分類邊界，這里給出牛頓迭代法的邊界
到此這篇Python機(jī)器學(xué)習(xí)的邏輯回歸算法介紹就介紹到這了,更多Python機(jī)器學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)搜索W3Cschool以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章。
